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Unterrichtsreihe zur Einführung des Satzes des Pythagoras

( Hohenstaufen-Gymnasium Kaiserslautern , Mai 1999 )

Grobkonzept:

- In diesem Konzept werden zunächst mit einem geschlossenen Knotenseil ,

einer zeichnerisch-experimentellen Phase und selbstgebastelten Knoten-

schnüren pythagoreische Zahlentripel aufgestellt.

Die Beschreibung der pythagoreischen Zahlentripel führt zur Formulierung

der Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Diese Umkehrung wird zunächst

als Satz vom Knotenseil bezeichnet.

- Nach einem Einschub über logische Aussagen soll die Einsicht gewonnen

werden, dass die Umkehrung einer Folgerung ( eines Satzes ) im allgemeinen

nicht immer wahr sein muss , d.h. dass Umkehrungen

bewiesen werden müssen.

- Nun wird die Umkehrung des Satzes vom Knotenseil formuliert und

als Satz des Pythagoras bezeichnet. ( Die Notwendigkeit des Beweises

sollte den Schülern nach dem Einschub über logische Aussagen klar sein ).

Die Formulierung des Satzes wird zunächst durch eine Pythagorasfigur

( rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Kathetenquadraten und

dem Hypotenusenquadrat ) veranschaulicht.

Pythagorasfigur

- Die Prinzipien von Zerlegungs- und Ergänzungsbeweis werden mit den

Schülern besprochen.

- Der Satz des Pythagoras soll mit Hilfe eines Ergänzungsbeweises bewiesen

werden. Dies soll in Gruppenarbeit durch Zerschneiden der Pythagorasfigur,

Ausschneiden von weiteren Flächen und Zusammensetzen der beiden

Ergänzungsfiguren geschehen.

( Es wird der Impuls gegeben , in der Pythagorasfigur entlang der

Hypotenuse zu schneiden, so dass einerseits das Hypotenusenquadrat entsteht,

andererseits das rechtwinklige Dreieck mit den beiden Kathetenquadraten.

( Die beiden Kathetenquadrate sind also schon um das zugehörige

rechtwinklige Dreieck ergänzt. )

Die beiden Kathetenquadrate und das Hypotenusenquadrat sollen jeweils

durch kongruente Figuren ergänzt werden, so dass jeweils die entstehenden

Ergänzungsfiguren kongruent zueinander sind .

( Prinzip des Ergänzungsbeweises ! )

)

Ergänzungsfigur 1

Ergänzungsfigur 2

(2) A.M. Fraedrich, Die Satzgruppe des Pythagoras )

1. Stunde:

-Den Schülern wird das Titelbild des Buches "Das Geheimnis des Orion"

( von Robert Bauval / Adrian Gilbert ) mit den drei deutlich sichtbaren

Pyramiden von Gizeh gezeigt. Es wird kurz angesprochen, dass in der

großen Pyramide (Cheops-Pyramide) in den letzten Jahren Schächte

entdeckt wurden, die auf bestimmte Sternbilder zeigen.Unter anderem,

dass im südlichen Schacht der Königinkammer mit Hilfe des fahrbaren

Roboters UPUAUT 2 (mit Videokamera) eine bis heute noch nicht

geöffnete kleine Tür entdeckt wurde.

Im Schüler-Lehrer-Gespräch wurde der Bau der regelmäßigen vier-

seitigen Pyramiden von Gizeh ( quadratische Grundfläche )

angesprochen, unter anderem die Vermessung der rechten Winkel

der Grundflächen der Pyramiden.

Zu der Vermessung von rechten Winkeln im alten Ägypten wurde eine

Folie auf dem Overhead-Projektor mit einem altägyptischen Motiv

gezeigt, das sogenannte Seilspanner mit einem Knotenseil und den

zugehörigen Spannpflöcken erkennen lässt.

-Ich hatte mir bei der Vorbereitung der Unterrichtsreihe in einem

Baumarkt ein (grünes) Seglerseil gekauft und damit ein geschlossenes

Knotenseil mit 12 Längeneinheiten geknüpft ( 1LE = 60cm ).

Die Gesamtlänge des ( geschlossenen ) Knotenseils war so gewählt, dass

drei Schüler im Klassensaal einen rechten Winkel aufspannen können.

-Problemstellung: Erzeugen eines rechten Winkels mit Hilfe eines

geschlossenen Knotenseils mit 12 Längeneinheiten,

wobei das Knotenseil an 3 Stellen gespannt wird.

-Drei Schüler versuchten dies experimentell im Klassensaal. Die erzeugten

Winkel wurden mit dem rechten Winkel eines Schülertisches verglichen.

Zunächst wurden folgende Zahlentripel erzeugt, bei denen kein

rechter Winkel entstand: (4, 4, 4), (5, 5, 2) .

Dann wurde experimentell das pythagoreische Zahlentripel (3, 4, 5)

gefunden, das deutlich einen rechten Winkel zeigt ( im Gegensatz zu

den obigen Zahlentripeln ) .

- Zur Sicherung wird unter der Überschrift "Pythagoreische Zahlentripel"

das experimentell gefundene Zahlentripel an der Tafel und im Heft

festgehalten und das zugehörige rechtwinklige Dreieck mit Zirkel und

Lineal konstruiert.Dabei werden die Begriffe Kathete und Hypotenuse

wiederholt und gefestigt.

- Zum systematischen Suchen von weiteren pythagoreischen Zahlentripeln

wird nun an der Tafel und im Heft auf kariertem Untergrund

ein rechter Winkel in die linke obere Ecke der Zeichenebene gezeichnet

und die Katheten ( in der Horizontalen a,

in der Vertikalen nach unten b )

mit Längeneinheiten versehen ( 1LE = 0,5 cm = 1Knotenabstand ) .

( Rechtwinkliges Suchdiagramm (siehe 2. Stunde) )

- Ganzzahlige Hypotenusen sollen nun zeichnerisch-experimentell zu

ganzzahligen Katheten gefunden werden.

- Als erstes wird die Hypotenuse c = 5 aus dem pyth. Zahlentripel

(3, 4, 5) eingezeichnet.

- In einer experimentellen Phase werden nun neu entdeckte ganzzahlige

Hypotenusen von den Schülern an der Tafel eingezeichnet und

das zugehörige pyth. Zahlentripel festgehalten.

- Die gefundenen Lösungen werden von allen Schülern ins Heft

übernommen.

- Die Schüler entdecken, dass weitere ganzzahlige Hypotenusen

( mit den zugeh. pyth. Zahlentripel ) parallel zu der Hypotenuse c = 5

des pyth. Z-trip. (3, 4, 5) liegen.

Dieses Ergebnis wird an der Tafel und im Heft festgehalten.

- Zwei Schüler haben jedoch gegen Ende der Stunde außerdem

das pyth. Zahlentripel (12, 5, 13) entdeckt, dessen Hypotenuse c = 13 in dem rechtwinkligen Suchdiagramm nicht parallel zu der Hypotenuse c = 5

des pyth. Z-trip. (3, 4, 5) liegt. ( Es wird die Vermutung ausgesprochen,

dass es noch weitere pyth. Z-trip. gibt, deren Hypotenusen in dem

rechtwinkligen Suchdiagramm nicht parallel zu c = 5 liegen. )

- Hausaufgabe: 1.) Finden von weiteren pythagoreischen Zahlentripeln

mit Hilfe des rechtwinkligen Suchdiagramms

( Einzeichnen der Lösungen )

2.) Basteln einer geschlossenen Knotenschnur zu

einem pyth. Zahlentripel

2. Stunde:

- Zu Beginn der Stunde können die Schüler die Funktionstüchtigkeit ihrer

selbsgeknüpften geschlossenen ( z.T. farbigen ) Knotenschnüre vorführen.

Die meisten Schüler haben Knotenschnüre zu dem pyth. Zahlentripel (3, 4, 5)

gebastelt, einige wenige haben aufwendigere Knotenschnüre zu dem

pyth. Zahlentripel (6, 8, 10) geknüpft.

- Während dieser Phase zeichnet ein Schüler das rechtwinklige Suchdiagramm

mit den in der letzten Stunde gefundenen ganzzahligen Hypotenusen an die

Tafel und hält auch die dazugehörigen pyth. Zahlentripel an der Tafel fest.

( Anmerkung: Bei einer nochmaligen Durchführung dieser Unterrichtsreihe

würde ich das rechtwinklige Suchdiagramm mit den ganz-

zahligen Hypotenusen auf einer Overhead-Folie festhalten. )

- Nun werden von den Schülern weitere in der Hausaufgabe gefundene

ganzzahlige Hypotenusen an der Tafel eingezeichnet und die zugehörigen

pyth. Zahlentripel angeschrieben.

Die Schüler ergänzen gleichzeitig das rechtwinklige Suchdiagramm in

ihrem Heft und entsprechend ihre pyth. Zahlentripel.

Rechtwinkliges Suchdiagramm zum systematischen Finden

von pythagoreischen Zahlentripeln

- Die Schüler erkennen, dass bisher zwei Gruppen von pythagoreischen

Zahlentripeln gefunden wurden.

Eine Gruppe1, deren Hypotenusen in dem rechtwinkligen Suchdiagramm

parallel zu der Hypotenuse c = 5 des pyth. Z-trip. (3, 4, 5) liegen.

Eine Gruppe2, deren Hypotenusen in dem rechtwinkligen Suchdiagramm

parallel zu der Hypotenuse c = 13 des pyth. Z-trip. (12, 5, 13) liegen.

- Die bisher gefundenen pyth. Z.-trip. werden in diese zwei Gruppen

getrennt an der Tafel und im Heft notiert.

Gruppe1 Gruppe2

( a, b, c) ( a, b, c)

( 3, 4, 5) (12, 5,13)

( 6, 8,10) (24,10,26)

( 9,12,15) (36,15,39)

(12,16,20)

- Es ergibt sich im Schüler-Lehrer-Gespräch folgende Problemstellung:

Es wird eine mathematische Beschreibung für die gefundenen

pythagoreischen Zahlentripel gesucht.

- Dabei verständigen sich die Schüler darauf, zunächst eine Beschreibung

für die beiden gefundenen Gruppen getrennt aufzustellen.

Eine geometrische Beschreibung über die Lage der Hypotenusen

innerhalb einer Gruppe ( im rechtwinkligen Suchdiagramm) war ja

schon gefunden worden ( Parallelität der Hypotenusen).

Es ging also darum, eine algebraische Beziehung unter den pyth.

Z-trip. jeweils einer Gruppe zu finden.

1. Versuch:

Gruppe1

( a, b, c)

(3, 4, 5 ) = ( 3, 3+ 1, 3+ 2)

(6, 8,10) = (2*3,2*3+2*1,2*3+2*2)

(9,12,15) = (3*3,3*3+3*1,3*3+3*2)

(12,16,20)=(4*3,4*3+4*1,4*3+4*2)

( a, b, c)=(k*3,k*3 +k*1,k*3+k*2) mit

( a, b, c)=(k*3,k*4,k*5) mit

- Die Schüler haben zunächst die Beziehungen zwischen den

Katheten a und die wachsenden Differenzen b-a und c-a

berücksichtigt. Zum Schluss stellte sich dann heraus, dass es

einfacher ist, die Tripel der Gruppe1 als Vielfache des pyth. Z-trip.

( 3, 4, 5 ) darzustellen

Die Schüler erkannten nun auch, dass die rechtwinkligen Dreiecke,

die den pyth. Z-trip. der Gruppe1 zu Grunde liegen, durch zentrische

Streckung mit dem ganzzahligen Streckfaktor und dem

Streckzentrum C aus dem Dreieck mit den Seitenlängen ( 3, 4, 5)

hervorgehen .

- Die Erkenntnise, die bei der Beschreibung der Gruppe1 gewonnen

wurden, werden analog auf die pyth. Z-trip derGruppe2

übertragen.

Folgendes Ergebnis wird an der Tafel und im Heft festgehalten:

Beschreibung der pyth. Zahlentripel der Gruppe 1:

Man erhält alle pyth. Zahlentripel der Gruppe 1 als Vielfache

des Tripels ( 3, 4, 5) :

( k*3, k*4, k*5) mit .

Die zu den pyth. Z-trip. gehörigen rechtwinkligen Dreiecke

gehen durch zentrische Streckung mit dem ganzzahligen

Streckfaktor ( und dem Streckzentrum C ) aus dem

Dreieck mit den Seitenlängen ( 3, 4, 5) hervor.

( Die Hypotenusen der Dreiecke der Gruppe1 liegen

( im rechtwinkl. Suchdiagr. ) parallel zueinander. )

Beschreibung der pyth. Zahlentripel der Gruppe2:

Kurzform:

( k*12, k*5, k*13) mit

( Die Hypotenusen der Dreiecke der Gruppe2 liegen

( im rechtwinkl. Suchdiagr. ) parallel zueinander. )

- Nachdem eine getrennte mathematische Beschreibung für die

gefundenen pyth. Zahlentripeln der Gruppe1 und Gruppe2 formuliert

ist, steht noch immer eine gemeinsame Beschreibung aus.

- Ein Schüler macht dazu den Vorschlag, man solle doch mal die

Quadrate der Zahlen in den pyth. Zahlentripeln betrachten.

Da dieser Vorschlag gegen Ende der Stunde gemacht wird, führt

dies zu folgender Hausaufgabe:

1.) Aufstellen der quadratischen Zahlentripel zu den

pyth. Zahlentripeln ( aus Gruppe1 und Gruppe2 )

2.) Zusammenhang zwischen den Quadraten

der Zahlen aus den pyth. Z-trip. herausfinden

3.Stunde:

- Tafelanschrieb der quadratischen Zahlentripel zu den

pyth. Zahlentripeln ( aus Gruppe1 und Gruppe2 )

durch einen Schüler

Gruppe1 Gruppe2

( 9 ,16, 25) (144, 25,169)

(36,64,100) (576,100,676)

(81,144,225) (1296,225,1521)

(144,256,400)

- Die Schüler haben schon in der Hausaufgabe erkannt, dass für

alle pyth. Zahlentripel gilt:

( Festhalten dieses Ergebnisses )

- Diese Erkenntnis wird bezogen auf Dreiecke folgendermaßen

formuliert:

Vermutung zum Knotenseil:

Gilt für die Seiten eines Dreiecks ,

dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel ( ) .

Kurzschreibweise:

Aus .

- Es stellt sich nun die Frage, gilt auch die Umkehrung der

Vermutung zum Knotenseil ?

- Um diese Frage zu klären, wird ein kleiner Exkurs in die

Aussagenlogik unternommen.

- Es werden z.B. folgende Aussagen betrachtet:

A: Dies ist ein Pudel

B: Dies ist ein Hund

Es gilt: Aus , denn ein Pudel ist immer auch ein Hund .

Es gilt jedoch nicht: Aus , denn ein Hund muss nicht

immer ein Pudel sein.

- Die Schüler gewinnen die Einsicht, dass die Umkehrung einer

Folgerung im allgemeinen nicht wahr sein muss.

- Die Umkehrung der Vermutung zum Knotenseil muss also bewiesen

werden.

- Die Umkehrung der Vermutung zum Knotenseil (Satz des Pythagoras)

wird zunächst in Kurzschreibweise formuliert.

Aussage A :

Aussage B :

Vermutung zum Kotenseil: Aus

Umkehrung der Vermutung zum Knotenseil

( Satz des Pythagoras ) : Aus

- Die ausführliche Formulierung des Satzes des Pythagoras und

der Beweis sind für die nächste Stunde geplant.

- Hausaufgabe: Bilden von 5 (sprachlichen) Folgerungen und iher

Umkehrungen ( Testen des jeweiligen Wahrheitswertes)

4./5. Stunde (Doppelstunde):

- Zunächst werden die Folgerungen und ihre Umkehrungen

der Hausaufgabe besprochen.

Dabei wird nochmals die Notwendigkeit des Beweises des Satzes

des Pythagoras betont.

- Da in der letzten Stunde der Satz des Pythagoras nur in der Kurz-

schreibweise vorlag, soll er nun ausführlich formuliert

werden und seine Geltung als Flächensatz durch eine Zeichnung

( Pythagorasfigur ) veranschaulicht werden.

Satz des Pythagoras:

In jedem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über

den Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie

das Quadrat über der Hypotenuse.

Anders ausgedrückt: Sind in einem rechtwinkligen Dreieck a und b

die Kathetenlängen und c die Hypotenusenlänge,

so gilt: .

Kurzschreibweise: Aus

Pythagorasfigur

- Die Prinzipien von Zerlegungs- und Eegänzungsbeweis werden

mit den Schülern besprochen.

- Der Satz des Pythagoras soll mit Hilfe eines Ergänzungsbeweises

bewiesen werden.Dies soll in Gruppenarbeit geschehen.

- Die Schüler haben für diese Stunde Scheren und, Klebestifte mitgebracht.

Jede Gruppe (3-4 Schüler) erhält einen Bogen weißen Pappkarton

und farbiges Papier zum Ausschneiden und Aufkleben. Außerdem

erhält jede Gruppe eine Folie und einenFolienstift, um die Ergebnisse

auf der Folie festzuhalten.

Ein oder zwei Schüler sollen zum Schluss die Ergebnisse mit Hilfe

der Folie am Overhead-Projektor vorstellen (Pythagorasfigur und

die beiden erarbeiteten Ergänzungsfiguren).

Die schönsten aufgeklebten Ergänzungsfiguren sollen im Klassen-

zimmer aufgehängt werden.

- Die Pythagorasfigur wird auf das farbige Papier gezeichnet.

Die Pythagorasfigur soll so zerschnitten werden, dass durch

Ausschneiden von weiteren Flächen und Zusammensetzen dieser

Flächen mit den passenden Teilen der Pythagorasfigur die beiden

Ergänzungsfiguren entstehen.

( Es wird der Impuls gegeben, in der Pythagorasfigur entlang der

Hypotenuse zu schneiden, so dass einerseits das Hypotenusenquadrat

entsteht, andererseits das rechtwinklige Dreieck mit den beiden

Kathetenquadraten. ( Die beiden Kathetenquadrate sind also schon

um das zugehörige rechtwinklige Dreieck ergänzt. )

Die beiden Kathetenquadrate und das Hypotenusenquadrat sollen jeweils

durch kongruente Figuren ergänzt werden, so dass jeweils die entstehenden

Ergänzungs figuren kongruent zueinander sind.

( Prinzip des Ergänzungsbeweises ! )

)

Ergänzungsfigur 1 Ergänzungsfigur 2

- Die Ergänzungsfigur 1 wurde relativ schnell in den einzelnen

Gruppen gefunden.

- Obwohl bei der Ergänzungsfigur 2 die Form schon durch die

Ergänzungsfig. 1 bekannt war, wurde in den Gruppen länger

über die Lage des Hypotenusenquadrats und die Ergänzungsdreiecke

diskutiert.

- Die Ergänzungsfigur 1 haben in der Stunde alle Gruppen

gefunden. Die Ergänzungsfigur 2 haben 4 von 5 Gruppen gefunden.

- Zwei Gruppen schildern mit Hilfe ihrer Folie am Overheadprojektor

wie sie ihre Ergänzungsfiguren gefunden haben.

- Die beiden Ergänzungsfiguren werden dann von allen Schülern

ins Heft übernommen.

- Die schönsten mit dem Farbpapier zusammengeklebten

Ergänzungsfiguren 1 und 2 werden im Klassenzimmer aufgehängt,

um die Beweisidee des gewählten Beweises während der Unter-

richttsreihe der Satzgruppe des Pythagoras jederzeit sichtbar

zu haben.

Hausaufgabe:( Anwendung des Satzes des Pythagoras )

Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen

Dreiecks mit den Seiten a=13; b=13; c=10.

( Planfigur! Rechnung! )

(Tip: Zeichne in der Planfigur die Höhe auf die Basis ein! )