Unterrichtsreihe zur Einführung des Satzes des Pythagoras

gehalten am Hohenstaufen-Gymnasium Kaiserslautern (April/Mai 1999)
Bilder zu der Unterrichtsreihe

In diesem Konzept wird zunächst das "Tischdeckenproblem" gelöst. Der Satz des Pythagoras lässt sich danach leicht aus der Lösungsfigur ablesen. (Literatur: A.M.Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras)
Die Unterrichtsreihe wurde mit der Absicht konzipiert, die Schülerinen und Schüler möglichst viel selbst tun zu lassen.

1. Stunde

 Problemstellung (Arbeitsblatt 1, Tafel; Unterrichtsgespräch (UG); 10min) Das Tischdeckenproblem
Da die Kinder von Familie Schneider häufig ihre Freunde einladen, wurde ein neuer quadratischer Tisch angeschafft werden, der doppelt so groß ist wie der alte, der ebenfalls quadratisch war. Da neue Tischdecken teuer sind, beschließt Familie Schneider, aus je zwei alten Tischdecken eine neue zu nähen.

Diskussion der Situation, Formulierung der Fragestellung:
Wie müssen die alten Decken zerschnitten und die Teile zusammengesetzt werden?
Dabei können die alten Tischdecken auch verschieden (Überhang) groß sein.

Mathematisierung:
TdP 1 geg.: Zwei Quadrate mit dem Flächeninhalt a2
ges.: Quadrat mit dem Flächeninhalt A=2a2
TdP 2 geg.: Zwei Quadrate der Flächeninhalte a2 und b2
ges.: Quadrat mit dem Flächeninhalt A = a2 + b2

Lösung des ersten Teilproblems (Arbeitsblatt 1, verschiedenfarbige Papierquadrate, Schere, Kleber; Gruppenarbeit (GA); 15 min)

Abstraktion (Vergleich der "Bastellösungen"; Mathematisierung der häufigsten Lösung mit Beweis, Folgerung; Arbeitsblatt 1, Tafel; fragend-entwickelnd (FEU); 15 min)
Lösung zu Tischdeckenproblem 1
 Zerschneide beide Tischdecken längs einer Diagonalen und setze die vier rechtwinkligen Dreiecke so zusammen, dass sich ihre rechten Winkel zu einem Vollkreis ergänzen.

Begründung:

Alle Teildreiecke sind rechtwinklig-

gleichschenklig und zueinander kongruent.

Deshalb ist das entstehende Viereck ein

Rechteck mit gleichlangen Seiten,

also ein Quadrat.

Satz 1

Das Quadrat über der Diagonalen d eines Quadrates der Kantenlänge a hat einen Flächeninhalt, der doppelt so groß ist wie derjenige des Ausgangsquadrates:

d2 = 2a2

Folgerung: Für die Diagonale eine Quadrates mit der Seite a gilt: .

Hausaufgabe: siehe Beispiel 1 (Anlage)

2. Stunde

Besprechung der Hausaufgabe (s. Anlage)

Lösen der Teilaufgabe b)

Lösung zu b)

Unterrichtsgespräch

Tischdeckenproblem b)

geg.: Quadrate mit den Seiten a und b;

ges.: Quadrat mit A = a2 + b2

1. Versuch:

Ziel: H1 = H2

Schüler zerschneiden Papierquadrate

Idee: Wähle statt B einen Punkt X ÎAB

2. Versuch:

H1 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung um 90° von D AXD um D. ==>

H2 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung um 90° von D XEF um F. ==>

Daher gilt H1 = H2 nur dann, wenn

gilt.

Mit

folgt daraus:

<==>

Und damit gilt .

Hausaufgabe:

Konstruiere X für a = 3 cm und b = 2 cm.

Zeige, dass das Viereck DXFH1(H2) ein Quadrat ist (Winkel(FXD) = 90° und ).

3. Stunde

Zusammenfassung der Hausaufgabe

Ergebnis:

Konstruktion:

1. Trage b in A an AB ab, man erhält X

2. Ergänze DX und XF zu einem Rechteck

Behauptung: Viereck DXFH ist ein Quadrat

Beweis:

1. Die Dreiecke D AXD und D XEF sind wegen

sws kongruent ==>

2. D AXD ist rechtwinklig ==>

Winkel(ADX) + Winkel(DXA) = 90°

und wegen

Winkel(EXF) = Winkel(ADX)

folgt daraus Winkel(FXD) = 90°.

Aus 1. und 2. folgt, dass das Viereck DXFH ein Quadrat ist.

Die Schüler zerschneiden zwei verschiedenfarbige Papierquadrate mit und kleben die Teile in Form eines Quadrates mit A = a2 + b2 ins Heft.

Die neue Tischdecke

Übergang zur "Pythagorasfigur" durch "Ausklappen" der Kathetenquadrate.

Aus obigem Beweis ergibt sich der berühmte Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

In mathematischer Kurzschreibweise:

D ABC rechtwinklig mit der Hypotenuse c

==> a2 + b2 = c2

Hausaufgabe: Puzzleteile einmal zu zwei Quadraten und einmal zu einem Quadrat zusammensetzen. Beide Konfigurationen in Form der Pythagorasfigur ins Heft zeichenen (Vom Lehrer vorbereitete Puzzles zu weiteren Zerlegungsbeweisen)

4. Stunde

Die Schüler erhalten ein Arbeitsblatt mit den Lösungen der Hausaufgabe.

Besprechung der Lösungen in Bezug auf das Tischdeckenproblem.

Besprechung der Lösungen in Bezug auf den Satz des Pythagoras.

Übungen zum Satz des Pythagoras